先追蹤標記，再判斷變換
圖形轉過一個角度，和圖形照了一次鏡子，可能讓某個標記落在同一處。區分它們時，不能只問「這個角是不是對上了」，還要核對其他標記去了哪裡。下面五組原創圖解依次練習旋轉、指定軸鏡射、位置與方向同時變化、對稱形的判斷限制，以及先轉後翻的次序。
這些圖和解析專為本文編寫，與費馬計分題本及第三方題庫分開。想先學習數量、圖形組合和通用檢驗方法，可以從三道入門矩陣推理例題開始。
先認清小板、大格和標記
各圖使用固定的位置排列。圖解一、二、四、五使用三行三列的方板；圖解三把三行三列的圖案放進三行五列外框，以分別檢查位置移動與內部轉動。點號表示空位；數字1、2、3只是三個不同標記的名字，不表示數量，也不參加運算。變換的是標記所在位置，數字本身始終保持正向，不把字形也轉過去。外層大格的r1、c1分別表示第1行、第1列；問號小板是缺失項。圖後的另一組小板給出A至D選項。
每圖都附圖解文字描述。比如 1../..2/.3. 中，斜線依次隔開小板的上、中、下三行，表示1在左上、2在中右、3在下中。把每行由左向右讀出，就能重建各小板；判斷不依賴顏色。
本文的旋轉是圍繞小板中心，讓每個標記轉過相同角度；鏡射是以穿過小板中心的指定直線為軸，把每個標記映到另一側，與軸的垂直距離保持不變，軸上的點不動。垂直軸鏡射交換左右，水平軸鏡射交換上下。除題目另作說明外，操作對象是小板，不是把整張外層矩陣一起轉動。
先追蹤兩個標記，再拿第三個檢驗。三個可辨認且不共線的標記，繞一圈的排列次序會在旋轉中保留、在鏡射中反轉；但沒有標記的對稱形可能讓兩種操作看起來相同。不能把「鏡射一定轉不過來」當成適用於所有圖的口訣。
圖解一：一個標記對上了，為什麼仍可能選錯？
每一行都從左到右連續執行兩次相同的一步操作。候選操作限定為：順時針轉90°、轉180°、垂直軸鏡射、保持不動。各行起始狀態可以不同。用所有完整橫向步驟檢驗候選，再補缺格；本題沒有另外規定直向規則。
c1 c2 c3
r1 1.. | ..1 | .3.
..2 | 3.. | 2..
.3. | .2. | ..1
----+-----+----
c1 c2 c3
r2 .3. | .2. | 1..
2.. | ..3 | ..2
..1 | 1.. | .3.
----+-----+----
c1 c2 c3
r3 .2. | 1.. | ???
..3 | ..2 | ???
1.. | .3. | ??? A B
1.. .3.
..3 2..
.2. ..1
C D
..1 1..
3.. ..2
.2. .3.圖解文字描述：外層第1行依次是 1../..2/.3.、..1/3../.2.、.3./2../..1；第2行是 .3./2../..1、.2./..3/1..、1../..2/.3.；第3行是 .2./..3/1..、1../..2/.3.、缺格。選項A 1../..3/.2.，B .3./2../..1，C ..1/3../.2.，D 1../..2/.3.。
答案為C。 從第1行左板出發，順時針轉90°，1從左上到右上，2從中右到下中，3從下中到中左，恰好得到中板。再轉90°得到右板。第2行從已經轉過半圈的狀態開始，繼續轉到四分之三圈，再回到初始狀態，兩步也都符合。
第3行中板已經回到初始狀態，因此下一步應是順時針90°後的C。A也把2放在下中，但把1放在左上、3放在中右；C要求它們分別在右上和中左，不能只憑2的位置選A。B把最後一塊已知板轉了180°，角度不對；D沒有轉動。垂直軸鏡射這個候選在第1步就被排除：它會讓2仍留在中間一行，不能把2送到最下面。
這裡的唯一選項建立在題目給定的四個候選操作與已知格子上，不是在證明有限圖形能排除所有任意編造的規律。
圖解二：先說清鏡子放在哪一條軸上
每行採用同一種兩步安排，比較兩個候選：先垂直軸鏡射，再水平軸鏡射，或者連續兩次順時針轉90°。軸始終穿過目前小板中心，並與頁面的垂直或水平方向一致。先從完整行辨認安排，再選缺格。
c1 c2 c3
r1 1.. | ..1 | .3.
..2 | 2.. | 2..
.3. | .3. | ..1
----+-----+----
c1 c2 c3
r2 ..1 | 1.. | .2.
3.. | ..3 | ..3
.2. | .2. | 1..
----+-----+----
c1 c2 c3
r3 .2. | .2. | ???
..3 | 3.. | ???
1.. | ..1 | ??? A B
.2. .2.
..3 3..
1.. ..1
C D
..1 .3.
3.. ..2
.2. 1..圖解文字描述：第1行是 1../..2/.3.、..1/2../.3.、.3./2../..1；第2行是 ..1/3../.2.、1../..3/.2.、.2./..3/1..；第3行是 .2./..3/1..、.2./3../..1、缺格。選項A .2./..3/1..，B .2./3../..1，C ..1/3../.2.，D .3./..2/1..。
答案為C。 看第1行第1步：1在最上面左右交換，2在中間左右交換，3位於垂直軸上所以不動。若是轉90°，2應到下中，與中板衝突。第2步才是上下交換：2留在中間，1和3換到另一行。再檢查第2行，兩步鏡射對另一種起始狀態同樣成立。
缺格從第3行中板出發，沿水平軸上下鏡射：1從右下到右上，2從上中到下中，3仍在中左，得到C。A又做了一次左右鏡射，退回該行左板；B原樣照抄中板，漏掉第2步；D把中板順時針轉動，沒有按水平軸反射。三個標記都在，並不足以說明選項正確。
這兩次互相垂直、相交於中心的鏡射，最終效果等於轉180°。但中間的小板告訴我們，每一步並不是旋轉。僅憑這組操作的起點和終點，也分不出先左右還是先上下：這兩個垂直軸反射換序後的終點相同。圖解五會換一組操作，檢驗真正會受次序影響的情況。
圖解三：移到了右邊，不代表方向也正確
這一題把小板放進一個五列寬的外框。每行從左到右，三列寬的圖案範圍依次從外框第1列、第2列、第3列開始；與此同時，圖案每一步都繞自身中心順時針轉90°。三行高的範圍不變。位置與內部方向這兩個條件必須同時滿足。
c1 c2 c3
r1 1.... | ...1. | ...3.
..2.. | .3... | ..2..
.3... | ..2.. | ....1
------+-------+------
c1 c2 c3
r2 ..1.. | ..3.. | ...2.
3.... | .2... | ....3
.2... | ...1. | ..1..
------+-------+------
c1 c2 c3
r3 .3... | ..2.. | ?????
2.... | ...3. | ?????
..1.. | .1... | ????? A B
.1... ..1..
...2. ....2
..3.. ...3.
C D
....1 ...2.
..2.. ....3
...3. ..1..圖解文字描述：第1行是 1..../..2../.3...、...1./.3.../..2..、...3./..2../....1；第2行是 ..1../3..../.2...、..3../.2.../...1.、...2./....3/..1..；第3行是 .3.../2..../..1..、..2../...3./.1...、缺格。選項A .1.../...2./..3..，B ..1../....2/...3.，C ....1/..2../...3.，D ...2./....3/..1..。
答案為B。 先核位置：完整行都把圖案範圍從左移到中，再移到右。再核內部排列：第2行由初始圖案的四分之一圈狀態，轉到半圈、再到四分之三圈，能夠另外驗證每步90°，不必只靠第1行。
第3行中板的內部排列已經轉了四分之三圈，再轉90°會回到初始排列，但這次要放到外框右側。B中的1在最上行第3列，2在中間行第5列，3在最下行第4列，兩個條件都符合。
A內部排列對，卻停在外框中部；C位置對，卻把內部圖案做成了鏡射；D只往右移，內部仍停在四分之三圈的狀態。比較時固定外框，再單獨看內部標記，才不會把「移動」和「轉動」混為一件事。
圖解四：對稱形能補出圖，卻未必能認定操作
每塊板上的兩個X完全相同。比較從每行左板到右板的四種操作：不動、轉180°、垂直軸鏡射、順時針轉90°。下列哪一個結論有依據？
c1 c2
r1 ... | ...
X.X | X.X
... | ...
----+----
c1 c2
r2 .X. | ???
... | ???
.X. | ???圖解文字描述：第1行左右兩板都是 .../X.X/...；第2行左板是 .X./.../.X.，右板缺失。結論選項：A，只能是轉180°；B，只能是垂直軸鏡射；C，不動、轉180°與垂直軸鏡射仍無法區分；D，順時針轉90°符合已知一對圖。
答案為C。 第1行的水平雙點，不動、轉180°或沿垂直軸鏡射，最後看見的都是原來那兩個X。對第2行，三個候選也都會預測 .X./.../.X.。A和B都沒有依據排除另外兩種操作；D在已知行就失敗，因為轉90°會把水平雙點變成垂直雙點。
因此，缺格的可見圖案可以確定，採用的操作卻不能唯一確定。「我知道缺圖長什麼樣」不等於「我證明它一定是鏡射」。
如果另編一道更能區分操作的題，可以把左右兩點分別命名為1、2，再在中心上方加入標記3。不動時1仍在左；垂直軸鏡射把1送到右側，3仍在上方；轉180°也把1送到右側，卻把3送到下方。第三個不共線標記區分了後兩者。這是在設計新題，不能擅自給原題補上標記，再當作原題已給的證據。
圖解五：先轉後翻，和先翻後轉一樣嗎？
每行左板用同樣的兩步操作變成右板，候選限定為：順時針90°後做垂直軸鏡射，或垂直軸鏡射後順時針90°。旋轉中心為小板中心，鏡射軸與頁面垂直方向保持一致。先用完整兩行選出次序，再把它用到第3行全新排列。
c1 c2
r1 1.. | 1..
..2 | ..3
.3. | .2.
----+----
c1 c2
r2 .3. | .2.
2.. | 3..
..1 | ..1
----+----
c1 c2
r3 .12 | ???
... | ???
3.. | ??? A B
..2 21.
..1 ...
3.. ..3
C D
3.. ..3
..1 1..
..2 2..圖解文字描述：第1行 1../..2/.3. → 1../..3/.2.；第2行 .3./2../..1 → .2./3../..1；第3行 .12/.../3.. → 缺格。選項A ..2/..1/3..，B 21./.../..3，C 3../..1/..2，D ..3/1../2..。
答案為D。 第1行裡，先轉動會把1從左上送到右上，再做垂直軸鏡射，1回到左上，符合已知右板。若倒序，1最終會在右下，已經被這塊已知板反駁。還要核第2行：2從中左轉到上中，再鏡射時處在軸上不動，確實仍在上中。
對第3行的新板，先轉90°：1從上中到中右，2從右上到右下，3從左下到左上；隨後左右鏡射，分別落在中左、左下、右上，組成D。
A執行了倒序操作，B只鏡射、漏掉旋轉，C只旋轉、漏掉鏡射。看見兩種操作都出現還不夠，次序也必須能解釋已知小板。
不靠想像，如何自行重新計算？
把三行三列的小板從左上開始編號，行和列都從1到3。順時針90°把「第r行、第c列」變為「第c行、第4−r列」；垂直軸鏡射變為「第r行、第4−c列」；水平軸鏡射變為「第4−r行、第c列」。每個標記各算一次，名字不能換。
例如，原來上中位置是第1行第2列，轉動後到第2行第3列；再做垂直軸鏡射，會到第2行第1列。若倒過來，先鏡射時上中點不動，隨後旋轉會到第2行第3列。兩次結果不同，直接核出了圖解五的次序差異。
這套格點規則對應CIMT《矩陣與變換》教材第4節中的平面變換。教材常用縱軸向上的笛卡爾座標；本文行號向下增加，所以套用旋轉公式前要轉換座標約定。本文標記板是另行原創的教學材料，不是從教材取來的題目。
換一塊板，檢查學會的是規則還是答案
先遮住解析，寫清旋轉中心或鏡射軸，預測兩個標記的位置，再用第三個檢查；同時指出哪一塊已知板能驗證操作。排除選項時，落到一個具體矛盾的位置，不用「看著不對」代替理由。若多個候選仍成立，就寫明暫時不能區分。
現在把圖解五的起始板換成 ..3/1../.2.。按「先順時針90°，再垂直軸鏡射」，應得到 .1./..2/3..。可以逐個用座標重新計算；記住上一題選D，並不能回答這塊新板。如果新題改了軸或次序，也必須重新算，不能套用這個結果。
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常見問題
圖形推理怎麼區分旋轉與鏡射？
先明確中心或鏡射軸，再追蹤可辨認的標記。旋轉讓各點轉過相同角度，鏡射讓點映到軸的另一側。不要只看一個標記，要用完整已知圖檢驗；對稱形可能無法區分操作。
鏡射一定不能通過旋轉得到嗎？
不能一概而論。對稱或標記不足的圖，可能在不同操作下得到相同可見結果。圖解四的缺格能夠預測，但操作本身仍不唯一。
要把整張九宮格一起旋轉嗎？
只有題目支持這種關係時才這樣做。本文變換的是每塊小板，外層矩陣提供例子與缺格；圖解三還要另外核對圖案在外框中的位置，不能用整體移動代替內部轉動。
旋轉和鏡射的先後次序有影響嗎？
可能有。圖解五中，順時針90°再做垂直軸鏡射，與倒序操作的結果不同。需要按題目實際給定的中心、軸和已知例子判斷，不能假設所有操作都能交換次序。
